\chapter{Банально, введение}

По лекции от 9 сентября 2011 года.

\section{Лектор}

Горячко Е. Е. email: eguene@pdmi.ras.ru

\section{Литература}

\begin{enumerate}
\item Каргополов Мерзляков Теория групп

\item Александров Введение в теорию групп

\item Винберг Курс алгебры

\item ван дер Варден Алгебра

\item Холл Теория групп

\item Босс Лекции по математике. Теория групп

\item Rotman An introduction to the theory of groups
\end{enumerate}

\section{Кое-какие сведения из детства}

\begin{Def}
	Отображение - тройка $(G, X, Y)$, где $G \subseteq X \times Y$ - грфик (отношение $G = \{ x \times f(x) | x \in X \}$, где $f : X \rightarrow Y$, так как-то привычнее, но в общем без разницы)
\end{Def}

\begin{Def}
	Множество всех отображений из A в B $\left(\{ f: A \rightarrow B\}\right)$ обозначается как $B^A$, а $\left|B^A\right| = {\left|B\right|}^{\left|A\right|}$
\end{Def}

\section{Полугруппы, моноиды, группы}

\begin{Def}
	X-множество, $n \in {\mathbb{N}}_0 = \mathbb{N}\cup\{0\}$, n-арной операцией на множестве X называется отображение $\left(G \subseteq X^{n+1}, X^n, X\right)$ (или по-русски $X^n \rightarrow X$)
\end{Def}

\begin{Def}
	Алгебраическая структура - тройка $(X, \Phi, \Psi)$, где X-множество элементов, $\Phi \subseteq \cup_{n=0}^{\infty} X^{\left(X^n\right)}$ - множество операций на множестве X, $\Psi$ - множество тождеств (кто-то, кажется, называл это предикатами)
\end{Def}

\begin{Def}
	Бинарная операция $\cdot$ на множестве X называется ассоциативной, если: \[ \forall(x,y,z \in X) \left[ \left( x \cdot y \right) \cdot z =  x \cdot \left( y \cdot z \right) \right] \]
\end{Def}

\begin{Def}
	Левонормированная расстоновка скобок в выражении - это такая расстановка скобок, при которой операции выполняются в том же порядке как и без скобок вовсе:
	\[
		\left(\left( ... \left( \left( x_1 \cdot x_2 \right) \cdot x_3 \right) ... \cdot x_{n-1} \right) \cdot x_n \right)
	\]
	Существует также правонормированная расстановка скобок, при которой операции выполняются в обратном порядке:
	\[
		\left(x_1 \cdot \left( x_2 \cdot \left( ... \cdot \left( x_{n-1} \cdot x_n \right) ... \right) \right) \right)
	\]
\end{Def}

\begin{Th}[Об обобщенной ассоциативности]
	Пусть X - множество, $\cdot$ - определенная на множестве бинарная операция, условно назовем ее умножением, тогда значение произведения любого числа элементов из X не зависит от порядка расстановки скобок в нем (не важен порядок произведения действий)
\end{Th}

\begin{Proof}
	Воспользуемся индукцией по числу элементов в выражении (n). База индукции - свойство ассоциативности, которое выполняется по определению для 3-х элементов.

	Теперь предположим, что свойство выполняется для всех выражений с длинной меньше n, докажем, что тогда и для выражения длинны n оно всегда выполняется. Пусть имеется выражение длинные n, его всегда можно разбить на две части - две скобки (в крайнем случае в одной из них будет всего один элемент, а во второй n-1)
	\[
		\left(x_1 \cdot \cdot \cdot x_k \right) \cdot \left(x_{k+1} \cdot \cdot \cdot x_n \right)
	\]
	В обоих частях мы можем расставить скобки как хотим, т. к. в каждой из них меньше n элементов, расставим в левой части скобки левонормированно, а в правой правонормированно:
	\[
		\left(\left( ... \left( \left( x_1 \cdot x_2 \right) \cdot x_3 \right) ... \cdot x_{n-1} \right) \cdot x_k \right) \cdot \left(x_{k+1} \cdot \left( x_{k+2} \cdot \left( ... \cdot \left( x_{n-1} \cdot x_n \right) ... \right) \right) \right)
	\]
	Пользуясь обычной ассоциативностью "переведем" один элемент в левую часть:
	\[
		\begin{split}
			& \left(\left( ... \left( \left( x_1 \cdot x_2 \right) \cdot x_3 \right) ... \cdot x_{n-1} \right) \cdot x_k \right) \cdot \left(x_{k+1} \cdot \left( x_{k+2} \cdot \left( ... \cdot \left( x_{n-1} \cdot x_n \right) ... \right) \right) \right) = \\
			= & \left(\left( ... \left( \left( x_1 \cdot x_2 \right) \cdot x_3 \right) ... \cdot x_{n-1} \right) \cdot x_k \right) \cdot x_{k+1} \cdot \left( x_{k+2} \cdot \left( ... \cdot \left( x_{n-1} \cdot x_n \right) ... \right) \right)  = \\
			& = \left(\left(\left( ... \left( \left( x_1 \cdot x_2 \right) \cdot x_3 \right) ... \cdot x_{n-1} \right) \cdot x_k \right) \cdot x_{k+1} \right) \cdot \left( x_{k+2} \cdot \left( ... \cdot \left( x_{n-1} \cdot x_n \right) ... \right) \right)
		\end{split}
	\]
	Проделав эту операцию последовательно много раз, мы "переведем" все элементы правой части в левую, таким образом мы можем привести любую расстановку скобок к левонормированному виду, а значит от расстановок скобок выражение не зависит
\end{Proof}

\begin{Def}
	Полугруппа - алгебраическая структура, с ассоциативной бинарной операцией
\end{Def}

\begin{Def}
	Пусть $\cdot$ - бинарная операция на множестве X, тогда элемент $e \in X$ называется нейтральным относительно операции $\cdot$, если
	\[
		\left(\forall x \in X \right) \left[x \cdot e = e \cdot x = x \right] 
	\]
\end{Def}

\begin{Th}
	Если нейтральный элемент относительно некоторой операции $\cdot$ сущестует, то он единственный
\end{Th}

\begin{Proof}
	Пусть существуют два нейтральных элемента $e$ и $e'$, тогда:
	\[ e = e \cdot e' = e' \Leftrightarrow e = e' \]
\end{Proof}

\begin{Def}
	Моноид - полугруппа с нейтральным элементом, по отношению к заданной ассоциативной бинарной операции
\end{Def}

\begin{Def}
	Обратным элементом к элементу $x$ относительно бинарной операции $\cdot$ наызвается элемент, для которого:
	\[
		x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = e
	\]
\end{Def}

\begin{Def}
	Группа - моноид, для каждого элемента которого существует обратный.
\end{Def}

\begin{Th}
	Для каждого элемента группы существует всего один обратный элемент
\end{Th}

\begin{Proof}
	Пусть $x_0^{-1}$ и $x_1^{-1}$ - элементы обратные к $x$, тогда:
	\[
		\left[x \cdot x_o^{-1} = e\right] \Leftrightarrow \left[x_1^{-1} \cdot x \cdot x_o^{-1} = x_1^{-1}\right] \Leftrightarrow \left[e \cdot x_o^{-1} = x_1^{-1}\right] \Leftrightarrow \left[x_o^{-1} = x_1^{-1}\right]
	\]
\end{Proof}

\begin{Def}
	Бинарная операция $\cdot$ называется коммутативной, если
	\[
		\left(\forall a, b\right)\left[a \cdot b = b \cdot a\right]
	\]
\end{Def}

\begin{Def}
	Диаграмма Келли - удобный способ представления результатов произведения любых элементов конечной группы. Например, пусть $G$ - группа, $g_1, ... , g_n$ - элементы группы $G$. Тогда можем составить прямоугольную таблицу (ну в общем таблица Пифагора) отметив i-ый столбец элементом $g_i$, а j-ую строку элементом $g_j$, а на их пересечений поставить результат операции $g_j \cdot g_i$.
	\[
		\begin{matrix}
			      && g_1             & g_2             & \dots & g_n             \\ \\
			g_1   && g_1 \cdot g_1   & g_1 \cdot g_2   & \dots & g_1 \cdot g_n   \\
			g_2   && g_2 \cdot g_1   & g_2 \cdot g_2   & \dots & g_2 \cdot g_n   \\
			\dots && \dots           & \dots           & \dots & \dots           \\
			g_n   && g_n \cdot g_1   & g_n \cdot g_2   & \dots & g_n \cdot g_n			
		\end{matrix}
	\]
\end{Def}

С этими диаграммами связан ряд простых задач, например, пусть на диаграмме выделена квадратная область:
\[
	\begin{matrix}
		\dots && g_i   & \dots & g_j      & \dots \\ \\
		g_k   && \lceil a     & \dots & \text{?} \rceil & \dots \\
		\dots && \dots & \dots & \dots    & \dots \\
		g_m   && \lfloor e     & \dots & b \rfloor        & \dots \\
		\dots && \dots & \dots & \dots    & \dots
	\end{matrix}
\]
Итак, викторина, что же скрывается за знаком вопроса? 

\begin{Solution}
Задача решается просто, распишем элеметы таблицы
\[
	\begin{split}
		& g_k \cdot g_i = a \\
		& g_m \cdot g_j = b \\
		& g_m \cdot g_i = e \\
		& g_k \cdot g_j = ?
	\end{split}
\]
Далее ряд простых манипуляций:
\[
	g_m \cdot g_i = e = g_i \cdot g_m \Rightarrow a \cdot b = g_k \cdot \left( g_i \cdot g_m \right) \cdot g_j = g_k \cdot g_j
\]
\end{Solution}
